Мир фильмовДля московских пятиклассников состоялся школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике. Организаторы опубликовали задания, ответы к ним, предварительные результаты и видеоразборы.
Ниже представлены типовые задания и решения для 5 класса.
Типовые задания и решения для 5 класса
Задача 1. Календарная задача
Условие: Первый день зимы — 1 декабря. Определите, какая дата приходится на:
1.1. 77-й день зимы.
1.2. 75-й день зимы.
1.3. 80-й день зимы.
1.4. 82-й день зимы.
Решение (на примере 1.1):
В декабре 31 день. Значит, зимние дни декабря: с 1 по 31 (всего 31 день).
На январь приходится: 77 – 31 = 46 дней.
В январе 31 день. Значит, на февраль приходится: 46 – 31 = 15 дней.
Ответ для 1.1: 15 февраля.
Ответы для остальных случаев:
1.2. 75-й день: 77 – 31 = 46; 46 – 31 = 15. 15 – 2 = 13 февраля.
1.3. 80-й день: 80 – 31 = 49; 49 – 31 = 18. 18 февраля.
1.4. 82-й день: 82 – 31 = 51; 51 – 31 = 20. 20 февраля.
Задача 2. Логическая задача («Волшебные шкатулки»)
Условие: Разложите золотой ключик, перстень, алмаз и жемчужину по двум шкатулкам так, чтобы ни одна из надписей на них не оказалась верной.
Решение:
Требуется такое распределение предметов, при котором в шкатулке “Золотой ключик” его не будет, и при этом в ней будет больше одного предмета. А в шкатулке “Не золотой ключик” должен лежать золотой ключик, и в ней должно быть не два предмета.
Пример верного распределения:
Шкатулка “Золотой ключик”: Перстень, Алмаз.
Шкатулка “Не золотой ключик”: Золотой ключик, Жемчужина.
Задача 3. Геометрическая задача («Вырезание фигуры»)
Условие: Федя вырезал из клетчатого листа одну из красных фигурок, изображённых ниже. Определите, какую именно фигуру он мог вырезать, учитывая сетку.
Задача 4. Задача на круговой счёт
4.1. Условие: За круглым столом сидят несколько ребят. Они по порядку называют числа: 1, 2, 3… Тот, кто в первый раз назвал число 5, во второй круг получил число 17. Сколько всего ребят?
Решение:
Разница между номерами одного и того же человека: 17 – 5 = 12.
Эта разница равна количеству человек за столом (N). Так как за один круг присваивается ровно N номеров.
Ответ для 4.1: 12 человек.
Ответы для остальных случаев (решаются аналогично):
4.2: 22 – 8 = 14 человек.
4.3: 17 – 6 = 11 человек.
4.4: 20 – 7 = 13 человек.
Задача 5. Комбинаторно-арифметическая задача
Условие: Расставьте различные цифры в кружочки так, чтобы произведения чисел в вершинах трёх зелёных треугольников были равны.
Задача 6. Геометрическая задача на площадь
Условие: Определите, сколько клеточек составляет площадь жёлтого ромба.
Задача 7. Задача про пиратов и передел монет
7.1. Условие: Четыре пирата забрали по сундуку монет. Известно, что:
У Тёртого на 140 монет больше, чем у Хитрого.
У Хваткого на 28 монет больше, чем у Вёрткого.
Вёрткому досталась ровно 1/4 всех монет.
Хваткий выложил 28 монет, а Тёртый — 140. Всего 168 монет.
Как распределить эти 168 монет, чтобы у всех стало поровну?
Решение:
После того как Хваткий и Тёртый выложили монеты, разницы, описанные в условиях, исчезли. Теперь у Хитрого и Тёртого стало поровну, а у Вёрткого и Хваткого — поровну.
При этом Вёрткий изначально имел 1/4 всех монет. После передела его доля не изменилась, значит, изначально у всех было поровну? Нет, это не так. Нужно уравнять доли.
Логика распределения: Выложенные монеты (168) — это излишек, который нужно компенсировать тем, у кого меньше. Разница между пиратами составляет половину от указанных чисел, так как “лишние” монеты были выложены.
Хитрый должен получить половину от 140 монет, чтобы сравняться с Тёртым после его взноса: 140 / 2 = 70 монет.
Вёрткий должен получить половину от 28 монет, чтобы сравняться с Хватким после его взноса: 28 / 2 = 14 монет.
Проверка: 70 (Хитрый) + 14 (Вёрткий) = 84 монеты. Остается 168 – 84 = 84 монеты. Их нужно разделить поровну между всеми пиратами, чтобы окончательно уравнять их суммы. 84 / 4 = 21 монета каждому.
Итоговое распределение выложенных 168 монет:
Хитрый: 70 + 21 = 91 монета.
Вёрткий: 14 + 21 = 35 монет.
Тёртый: 0 + 21 = 21 монета.
Хваткий: 0 + 21 = 21 монета.
Задача 8. Задача про ворон на проводе
8.1. Условие: 10 ворон сидят на проводе через равные промежутки. Клара — 4-я по счёту. Для вороны Усти Клара в 4 раза ближе, чем Варвара. Для вороны Сары Клара в 5 раз ближе, чем Варвара. Определите номера всех ворон.
Решение:
Пусть расстояние между соседними воронами равно 1 единице.
Для Усти: Расстояние до Клары (|У-4|) в 4 раза меньше, чем до Варвары (|У-В|). Уравнение: 4 * |У – 4| = |У – В|.
Для Сары: 5 * |С – 4| = |С – В|.
Метод подбора или анализа показывает, что Варвара не может находиться рядом с Кларой. Если предположить, что Варвара находится на позиции 10, тогда:
Для Усти: 4 * |У-4| = |У-10|. Это уравнение имеет решение У=2.
Для Сары: 5 * |С-4| = |С-10|. Это уравнение имеет решение С=5.
Решение сходится, номера не конфликтуют.
Ответ: Клара — 4-я, Варвара — 10-я, Устя — 2-я, Сара — 5-я. Остальные вороны занимают оставшиеся позиции (1, 3, 6, 7, 8, 9).
